2020年 東大寺学園中学校 大問4 ～前の小問の利用（漸化式的）～ Part 1

こんにちは。家庭教師の知力会です。

今日は2020年の東大寺学園中の入試から一題、取り上げます。
自分の母校でもあるので敢えて言いますと、東大寺の受験生にとっては結構厳しい問題のように思います。
特に最後の小問(3)は、解けなくても合否に差し障ることはないでしょう。
ただし、(2)までは調べてでもたどり着きたいところです。



まず、(1)ですが、これは調べましょう。



左が①、右が②です。
①は11組、②は10組です。

次に、(2)です。ここからが問題です。
もちろん調べても答えは出ますが、ここでは(1)を利用して調べずに解きます。
それでは(1)をどう利用できるか？なのですが・・・
B=2×A, B=2×A+1の二種類の存在は、「繰り上がりの有無」と関係ありそうだ、と気づく必要があります。
実際に考えてみると、

3けたの整数がB=2×Aとなる場合、
①Aの一の位が1,2,3のとき、上2けたもB=2×A
②Aの一の位が6のとき、繰り上がるので上2けたはB=2×A+1
③Aの一の位が4,5のとき、Bは存在しない
ということがわかります。

つまり、

　

ということになります。
よって43組。

思ったより記事が長くなってしまいました。
明日は、(2)をさらに研究したうえで(3)へつなげていきます。
以下に更新済みです。
↓
2020年 東大寺学園中学校 大問4 ～前の小問の利用（漸化式的）～ Part 2
それでは。

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2020年 甲陽学院中学校 第一日 大問4 (2)

こんにちは。家庭教師の知力会です。

今日は甲陽の問題を取り上げます。



(1)はありふれた問題ですので、割愛します。
(2)のみを考えます。

先日少し触れた内容と近い方法で解きますので、よろしければそちらからご覧ください。
↓
2020年 洛南高校附属中学校 大問1(5) Part 2

さて。
この問題が、一般的な問題と異なるのは、位によって使える数字が異なるという点です。
一般的には「1～4のカードを並べる」といった形で出題されますので、どのくらいにも同じ数字が使えます。
ただこの問題では、
一の位・・・1~6
十の位・・・1~5
百の位・・・1~4
千の位・・・1~3
といった具合に、各位に現れる数字の種類が異なるわけです。
それに伴い、当然数字の登場する頻度も異なってきます。
解いてみましょう。

まず、4けたの数の数字の個数は、
6×5×4×3＝360個
です。
一の位は数字が6種類ありますので、
360÷6＝60個、つまり1~6のどの数字も60個ずつ現れます。
よって一の位に現れる数字の和は、(1+2+3+4+5+6)×60=1260
となります。
つぎに十の位は数字が5種類ありますので、
360÷5=72個、つまり1~5のどの数字も72個ずつ現れます。
よって十の位に現れる数字の和は、(1+2+3+4+5)×72＝1080
同様にして、
百の位に現れる数字の和・・・(1+2+3+4)×90＝900
千の位に現れる数字の和・・・(1+2+3)×120=720
となります。

一の位の和はそのままで良いですが、十の位～千の位はそれぞれ×10~×1000をしないといけませんね。
したがって、すべての4桁の数の総和は、
720×1000+900×100+1080×10+1260=822060
となります。

カードで作れる数の総和の求め方を、公式のように覚えている人には解きにくかったかもしれません。
意味を理解していれば、問題なく解けたことでしょう。

明日は更新はお休み。
月曜日から、また良い問題をご紹介します。

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2020年 灘中学校 第一日 大問2 ～軽減税率はややこしい～

こんにちは。家庭教師の知力会です。

さて、今日は再び2020年の灘中、一日目に戻ります。
難しいわけではないですが、テーマが良いですね。



ご覧の通り、消費税増税に伴う「軽減税率」がテーマです。
特に、店内飲食とテイクアウトで税率が異なる点は、様々なところで議論されました。
この問題も、軽減税率を皮肉ったようなメッセージ性を感じます。

さて、解いてみますが結構シンプルです。

まず、商品1つの税抜き価格を【1】とします。
太郎君は8%税率で5個買って食べようと思っていたのですから、
【1】×1.08×5≦1000
すなわち、
【5.40】≦1000・・・①
です。

次に、「すべて税率が10%になると4個しか買えない」の記述に注目します。
これは、「すべて税率が10%になるとちょうど4個買える」ではありません。
「すべて税率が10%になると5個買うにはお金が足りない」と考えます。
【1】×1.1×5＞1000
すなわち、
【5.5】＞1000・・・②
です。

続いて、「4個が税率10%、1個が税率8%だと5個買える」に注目します。
【1】×1.1×4＋【1】×1.08×1≦1000
ですから、
【5.48】≦1000・・・③
です。

①～③をすべて満たす必要があります。
ここで、①は③の条件よりも緩いので、無視します。
②と③のみを考えます。
②のとき、【1】＞1000÷5.5＝181.8・・・
③のとき、【1】≦1000÷5.48＝182.4・・・
となりますので、
181.8・・・＜【1】≦182.4・・・
これを満たすのは、【1】＝182のときのみ。
よって、182円です。

というわけで、数学で不等式を習った中高生には楽な問題なのですが・・・
小学生がこれを解くことになるので、数的な感覚（まあカンですね）が必要とされます。
灘はこの手の「数字の範囲」が出題されることがあるので、基本の思考として押さえておきましょう。

ちなみに、カンの良い小学生ならば1個あたり180円ちょっとだと予想できると思いますので、
調べてしまっても答えにたどりつけるでしょう。
（「検討をつける」も時には必要な能力です）

さて、今日は今から数学・英語のプリントを作った上で、夕方から高校生の授業です。
それでは。

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2020年 洛南高校附属中学校 大問1(5) Part 2

こんにちは。家庭教師の知力会です。

今日は昨日の問題の続きです。
↓
2020年 洛南高校附属中学校 大問1(1) Part 1

まず前提としてお話しておかなければいけませんが、
今日ご紹介する内容は、この問題で適用することを推奨するものではありません。
あくまで、他の問題に応用できる可能性を考えてのことです。
（余談だと思ってください）



さて、この問題に出てきている「142857」などの数字は、循環小数と関係があります。
循環小数に関しては下の記事で軽く紹介してありますので、是非ご覧ください。
2015年の灘の問題を取り上げています。
↓
2015年 灘中 第一日 ６番 ～循環小数について～ その1
2015年 灘中 第一日 ６番 ～循環小数について～ その2
2015年 灘中 第一日 ６番 ～循環小数について～ その3
（今なら少し違う解法で指導するかもしれません・・・）

本題に入ります。
1/7＝0.142857142857・・・
2/7＝0.285714285714・・・
3/7＝0.428571428571・・・
4/7＝0.571428571428・・・
5/7＝0.714285714285・・・
6/7＝0.857142857142・・・
ここで、
1000000/7＝142857.142857142857・・・ですから、
999999/7＝142857
となります。
同様に、
(1000000/7)×2=285714.285714・・・より、
(999999/7)×2=285714
他も同じようにすると、左辺は以下のように変形できます。
(999999/7)×(1+2+3+4+5+6)
これを計算すると、
999999×3
となりますので、□＝3
と求めることができます。

1/7をはじめとする循環小数の話は、今後も出題がされると思います。
この問題では使う必要のない知識ですが、難関校を受験するならば頭に入れておきましょう。


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2020年 洛南高校附属中学校 大問1(5) Part 1

こんにちは。家庭教師の知力会です。

さて、前回は2020年の東大寺学園入試を取り上げましたが。
今回も同様に、「計算ナメるなよ」シリーズをお送りします。

今日は2020年の洛南から一題。



まず、左辺をふつうに足し算して解くこともできますが・・・
他の問題との兼ね合いを考えると、合格から遠ざかるでしょう。
今回は2つ、解法をご紹介します。

解法1
左辺を2つずつ組み合わせると、999999になる組が3つ出来ます。
142857+857142, 428571+571428, 285714+714285
よって、□＝3
となります。

この解法1が断然楽で、この問題自体はこれで解くべきでしょう。
でもせっかくなので、色々と考えてみます。

解法2
各位に注目すると、どの位にも1,4,2,8,5,7が1回ずつ登場していることが分かります。
各位の和は、1+4+2+8+5+7=9×3
一の位、十の位・・・十万の位まですべて同じ和なので、左辺の和は、
9×3×1+9×3×10+9×3×100+・・・9×3×100000
=9×3×(1+10+100+・・・100000)
=9×3×111111
=999999×3
よって、□＝3

解法2で解く受験生は少なかったとは思いますが、難関校受験生には必要な考え方です。
「カードを並べて出来る数の総和」の問題で習いますね。

例えば、1～5のカードを並べて出来る4桁の数の和を考えましょう。
できる数字は5×4×3×2=120個。
各位に1～5が120÷5=24個ずつ登場するので、
各位の和は(1+2+3+4+5)×24=360
よって総和は、360×(1+10+100+1000)=399960

といった具合です。

ただ、この問題はもっと面白い話のできる数字が使われているんですよ。
それについては、また次回お話できればと思います。
続きはこちら。
↓
2020年 洛南高校附属中学校 大問1(5) Part 2

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2020年 東大寺学園中学校 大問1(1) ～大きな分母の通分～

こんにちは。家庭教師の知力会です。

今日は僕の母校でもある、東大寺学園中の2020年入試より、一題ご紹介します。
東大寺は数学科にある先生が赴任されてから、難問が増えています。
今年もそれなりの水準の問題が多く、紹介しがいもありそうです。

今回はひとまず、大問1(1)、つまり計算問題です。



「計算問題なんて紹介するな」なんて言われそうですが、この問題には重要な要素が詰まっています。
・大きな分母の通分
・素因数への注目（倍数への注目）
あたりでしょうか。
それでは、解いていきましょう。

まず、通分します。
と言ってもそのまま通分すると大変です。
ここでは、まず分母がすべて101の倍数であることを利用します。
1717＝101×17、1919＝101×19、909＝101×9、2121＝101×21、1010＝101×10ですね。
ちなみに、右辺にある□もおそらく101の倍数であろう、ということで
□＝101×Nとしておきます。
それを利用して通分後の分母を求めるのですが、計算が大変。
なので、掛け算の形で置いておきます。
101×17×19×9、101×21×10×Nですね。
右辺は最小公倍数でない可能性もありますが、ここでは気にせずそのまま進めます。
分子も計算しますが、やはり一旦掛け算せずに式のまま置いておきます。



約分できる部分は約分し、また左辺の()内は計算しましょう。



ここまで来れば、左右の分母を比べます。
左辺の分母に19があるので、右辺の分母にも19が少なくとも1つあるはずです。
N=19と仮定して右辺の分子を計算すると・・・
右辺の分子は、1になりますね。
代入一発目で数字が合うとラッキーな気分になりますね。

よって答えは、
□＝101×N=101×19=1919
です。

年度によっては灘中もそうですが、難関校では計算問題でも凝った問題が出題されることがあります。
たかが計算問題、と高をくくっていると・・・大変な目にあって焦りそうですね。
ですから、普段から「計算の工夫」をする習慣を身につけたいものです。

しかし、「計算の工夫」はあまり塾などでも指導されないのが現状。
そこに割く時間は無いのです。
その点、僕のような家庭教師は「計算の工夫」も随時伝授しているので、強みかもしれません。

計算でお困りの方も、ご相談下さいね。
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financeとfinal、そしてフィナンシェの関係

こんにちは。家庭教師の知力会です。

今日は2つ目の更新です。
さきほど「お知らせ」を更新していますので、そちらもご一読下さい。
↓
お知らせ（交通費について）


昨日の午後から、鉄緑会（高1）の英語を見ていました。
financialという単語が出てきて、生徒から「これはfinalと関係あるのか」と聞かれました。
僕は今まで全く意識したことのなかった視点でしたが、言われてみれば確かに似ていますね。
そこでちょっと調べてみたところ・・・どうやら、語源が同じそうです。

中世のフランス語、finer（＝終わる、支払う）。これがfinanceとfinalの大元となる言葉。
そういえば、fine（＝罰金）という名詞がありましたね。
確かに、話が繋がります。

financeという語は日本語にも入ってきているため、意味を覚える苦労をしたことがありません。
そのため語源も今まで調べたことはなく、まさかfinalと同語源だなんて想像もしませんでした。

そしてこの生徒さんはなかなか面白くて、「お菓子のフィナンシェも似てるよね」と。
確かに。financierですものね。
それこそ、微塵も考えたことはなかった。

早速調べました。

フィナンシエとはフランス語で「金融家」・「金持ち」等の意味があり、「フィナンシエ型」と呼ばれる小さな台形の金型で作られた菓子の形が、色・形において金塊に似ているからとも、サン＝ドゥニ通りの菓子職人ラヌが考案し、パリ証券取引所周辺の金融街から広まったからともいわれる
（wikipedia, ニナ・バルビエ、エマニュエル・ベレ『名前が語るお菓子の歴史』北代美和子訳、白水社、1999年、72頁より）

だそうです。
関係、ありましたね。
新しい知識が増えました。

英単語をなかなか覚えられない人は、こんな感じで語源を調べながら覚えると記憶に残りやすいです。
ひと手間かけることで、案外忘れにくくなるものですよ。印象に残りますから。
高校時代から、変わらない習慣の一つです。オススメ。

単語帳ばっかり眺めてないで、ね。

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お知らせ（交通費について）

こんにちは。家庭教師の知力会です。
本日は、お知らせがあります。

消費増税、またそれに伴う交通運賃引き上げに伴いまして・・・
2月より、従来の指導料に加えて一定額の交通費を頂戴することになりました。

基本的には実費請求となりますが、500円単位での切り捨てになると思って下さい。
また、指導時間が長い場合（3時間以上）には少々考慮いたします。

ご家庭からすると、指導料引き上げとさほど変わらないことは承知しております。
そのぶんと言っては何ですが、より一層、子どもたちの手助けができるよう尽力いたします。
ご理解のほど、よろしくお願いいたします。

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