2020年 洛南高校附属中学校 大問2(1)

こんにちは。家庭教師の知力会です。

今回は、洛南の問題です。

ご紹介する予定はなかったのですが、インスタグラムで「ある事柄」について質問され、

この問題を思い出しました。

「ある事柄」とは、本問の解説の前半部分です。

「とても似ている」わけではないのですが・・・

平面図形の面積として考える点で、通ずるものがあります。

それでは、問題です。

簡単そうなのですが、面積図の利用を典型問題の記憶だけでこなしていると、厳しそうです。

まず、前述のとおりインスタグラムで質問を受けた内容について説明します。

数学の「因数分解の公式の利用」で出てくる内容ですね。

ですが、ここは敢えて算数の内容で解きます。

というわけで・・・本題にいきましょう。

この問題も、数学の展開・因数分解の公式から生まれたものでしょう。

二次の項は消えはしますが、一応、二次方程式です。

繰り返しますが、敢えて算数で解きます。（中学入試問題ですから）

最後は他にも手段はありそうですが、比の利用が楽でしょう。

「面積図」「線分図」などなど、パターンを掴んだうえで、「使いこなす」ことが最も重要です。

そう思って、演習に取り組みましょう。

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2020年 東大寺学園中学校 問3 (2) ～相似比の利用～

こんにちは。家庭教師の知力会です。

前回に引き続き、東大寺学園中の2020年入試からの問題です。

今年は東大寺が面白い問題を多く出題していましたね。

このあたりでリンクをまとめておきましょう。

2020年 東大寺学園中学校 問1 (1)

2020年 東大寺学園中学校 問3 (1)

2020年 東大寺学園中学校 問4 Part 1

2020年 東大寺学園中学校 問4 Part 2

さて、本題にはいりますよ。

「意外と解けない」という言葉が当てはまりそうな一問です。

おそらく、相似比が数字として出てこないためでしょう。

これは、算数よりも中学数学「幾何」でよく扱う内容です。

というわけで、ぼちぼち解説にいきましょう。

QR=3cmと分かるまでが勝負ですね。

それさえ分かれば、BCも求まるでしょう。

解き方自体は、他にもいろいろとありそうです。

さて、次回は洛南の問題からピックアップ。

お楽しみに。

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2020年 東大寺学園中学校 問3 (1) ～図形内の円の移動～

こんにちは。家庭教師の知力会です。

甲陽と灘が続きましたが、今回と次回は再び東大寺学園からのピックアップです。

図形内を円が転がる、という意味では珍しいものではありませんが、

・三角形の中を転がること

・直接、通った部分の面積を求めたりはしないこと

以上の2点で、かなり変化球の問題と言えるでしょう。

では、まず問題です。

①から解いていきましょう。

ここから本当は細かい説明が必要（図形の合同の利用）なのですが・・・シンプルにいきます。

続いて、②です。

頂点付近を集める、というのはテクニック的な習い方をします。

この問題では、それが半ば「必須」とされているといえます。

母校だからというわけでなく、良い問題ですね。

発想だけの問題で、計算も作業も至ってシンプル。

受験生の間で、差がついたのではないかと思っています。

さて、次回も東大寺の同じ問3から、(2)のご紹介。

といっても、まったく関係のないべつの問題です。

それでは。

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2020年 灘中学校 第二日 問3 ～整数絡みの場合の数～

こんにちは。家庭教師の知力会です。

前回まで2020年の灘中の一日目の解説をしました。

今回は、二日目から問題をピックしたいと思います。

内容的には「場合の数」ですが、整数の要素が入った問題です。

正直なところあまり珍しい問題ではありませんが・・・

2020年だから、「2」の個数に着目したのかなと（今気づいた）。

問題を見てみましょう。

小問が3つありますが、ある準備をすれば一気に解けます。

じっくり調べても解けますが、他の問題に時間をとっておきたいので避けたいところです。

Time is money.

ですよ。

それではお待ちかね、解説です。

以上が準備です。

もう解けたも同然ですね。

以上、おしまい！

ただ、これだと少々物足りないので、考察を入れておきます。

以下の考察を先に考えて、余事象的に(2)か(3)あたりを解いた受験生もいたかもしれませんね。

本問をどう料理するかは置いておいて、この視点は大切です。

大学入試の数学でも通用する思考です。

単純な問題ですが、学ぶことの多い問題でした。

地道に数えると、この数倍は時間がかかってしまうと思います。

調べる力もとても大切ですが、せっかくなので上で紹介した思考も身につけましょう。

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2020年 灘中学校 第一日 問11 ～正四面体からの切り落とし図形～

こんにちは。家庭教師の知力会です。

今回も、2020年の灘中一日目の算数より、一問ご紹介。

灘中一日目定番の、展開図問題です。

灘中の展開図問題は、立方体や正四面体が絡むものが、とても多いです。

もちろん、それらの図形はそのまま出題されるわけではなく、

「どこかを切り落とし」たり、「何かを付け足し」たりした形で出てきます。

では、今年の展開図問題は、どうだったでしょうか。

灘中の対策をしっかりした生徒ならば、即座に「正四面体がらみだ」と気づくでしょう。

ですが、問題はもちろんそのあと。

切りこみの入った面（・の印のせいで、魚の頭に見えました）

台形の面（切り落としがありそうですね）

一辺6cmだけでなく、4cmの正三角形の面（やっぱり切り落としがありそう）

これらに注目すると、どうやら一辺6cmの正四面体から何らかの立体を切り取ったのでは？

そう予想できます。

組み立ててみました。補助線もついでに入れておきます。

単純そうな展開図なのに、あまり見かけない形をしていますね。

でも実は、大きさの異なる正四面体を考えるだけで、問題は解けちゃうんです。

実際に解いてみましょう。

最初見たとき、ああ、灘らしいなあ・・・なんてつぶやいていました。

これに気づくと、本当にスマートに、すぐに解けてしまいます。

正四面体の切り落とし問題は、ついつい全体の正四面体から引こうとしがち。

でも、その固定観念から抜け出すことが、この問題では求められていると思います。

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2020年 灘中学校 第一日 問4 ～日暦算の応用～

こんにちは。家庭教師の知力会です。

今日はふたたび2020年の灘中 一日目に戻り、一問ご紹介します。

内容としては日暦算になりますが、見た目以上に応用的な問題です。

難関校受験生に必要な知識が詰まっています。

灘中受験生でなくても、解説を見ながらでも取り組むべき問題かと思います。

それでは、問題に参りましょう。

という問題です。

どこから手を付けようか・・・と思わせられる問題です。

では、解説をどうぞ。

月ごとにどれくらい曜日が進むかという考え方は、とても大切。

ちなみに、今年の2月～3月は、うるう年なので

29÷7=4・・・1、1つ進みますね。

次にいきましょう。

一か月の中で、同じ曜日は4回または5回（うるう年以外の2月は4回のみ）。

このことは、当たり前ですが意識できていない生徒が意外と多いです。

では、最後までいきます。

カレンダーを眺めるのも、十分勉強になる良い例です。

カレンダーは、規則性が表れている数列のなかでも身近でとっつきやすいです。

曜日について、色々と親子でお話してみるのも良いのでは？

それでは、失礼いたします。

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2020年 甲陽学院中学校 第二日 大問6 ～円柱へのひもの巻きつけ～

こんにちは。家庭教師の知力会です。　

今日は、2020年甲陽学院の二日目より、立体図形の問題の解説をしたいと思います。

まずは(1)です。

展開図に、糸を書き込んでいきます。

甲陽を受験するならば、この問題は取りたいところですね。

続いて、(2)です。

さて、ここまでくれば、あとは青い糸で囲まれる部分を考えます。

ただし、実際にはこの展開図は左端と右端が繋がりますから、要注意。

これは結構難しい部類に入ると思います。

このようになります。

おそらく、真ん中の2つの⑥の部分だけを求めた人が多かったのではないでしょうか。

甲陽ならば落としてもまだ大丈夫、灘ならば合否を分ける可能性があるレベルの内容だと思います。

ところで余談ですが、blogのデザイン等を変更いたしました。

見やすくなるよう、随時ブラッシュアップしていきます。

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2020年 甲陽学院中学校 第二日 大問1 (2) ～虫食い算における倍数の利用～

こんにちは。家庭教師の知力会です。

手違いで記事を消してしまったようですので、再アップします。

2020年の甲陽学院中、第二日より。

1 (2) ある4けたの数を9倍すると、数字の並び方の順序が逆になりました。もとの4けたの数は（　　　　）です。

解法1


繰り上がりに要注意です。

解法2


この解法では、
・⑧は8の倍数
・数字を入れ替えた2けたの数の差は、（2数の差）×9
・ある数が9の倍数であるとき、各位の数の和は9の倍数

などの知識を使っています。
虫食い算で倍数の考え方を持ってくるやり方は、常に頭に入れておきましょう。

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2020年 甲陽学院中学校 第二日 大問1 (1)

こんにちは。家庭教師の知力会です。

さて、今日は2020年の甲陽から1問、ご紹介します。



(ア)はさほど難しくありませんね。



このように、1が98個並ぶだけです。よって答えは98。
問題は(イ)です。
(ア)を利用して考えますと、
9+99+999+9999+・・・＝(10－1)+(100－1)+(1000－1)＋(10000－1)＋・・・
となります。
9が98桁ある数まで足しますので、



このように整理できるはずです。

下3桁のみ計算できますので、それを計算すると次のようになります。



というわけで、各位の数の和は1×96＋1+2=99です。

引っ掛かるとすれば(イ)ですが、(ア)をどのように利用するかがポイントです。
また、桁数を間違えないようにするのが一番大切かもしれません。
失敗しやすく、かつ合否の分かれ道になりがちです。

甲陽にはまだご紹介したい問題がありますので、また後日。
それでは。

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2020年 東大寺学園中学校 大問4 ～前の小問の利用（漸化式的）～ Part 2

こんにちは。家庭教師の知力会です。

さて、前回の続きです。
まずは以下からご覧ください。
↓
2020年 東大寺学園中学校 大問4 ～前の小問の利用（漸化式的）～ Part 1



(3)を解きます。

前回の(2)より、
3けたの整数がB=2×Aとなる場合、
①Aの一の位が1,2,3のとき、上2けたもB=2×A
②Aの一の位が6のとき、繰り上がるので上2けたはB=2×A+1
③Aの一の位が4,5のとき、Bは存在しない
ということが分かりました。
これをさらにまとめますと、
(B=2×Aとなる3けたの組)=(B=2×Aとなる2けたの組)×3＋(B=2×A+1となる2けたの組)×1
と言えます。
同様に、
(B=2×Aとなる4けたの組)=(B=2×Aとなる3けたの組)×3＋(B=2×A+1となる3けたの組)×1
(B=2×Aとなる5けたの組)=(B=2×Aとなる4けたの組)×3＋(B=2×A+1となる4けたの組)×1
であろうことが予測できます。
ということは・・・B=2×A+1となる3けたの組の数も必要であることになります。
(2)と同様に考えます。

3けたの整数がB=2×A+1となる場合、
①Aの一の位が1,2のとき、上2けたはB=2×A
②Aの一の位が5,6のとき、繰り上がるので上2けたはB=2×A+1
③Aの一の位が3,4のとき、Bは存在しない
となりますので、



よって42組。

このことはすなわち、
(B=2×A+1となる3けたの組)=(B=2×Aとなる2けたの組)×2＋(B=2×A+1となる2けたの組)×2
であることを表します。
もちろん同様に、
(B=2×A+1となる4けたの組)=(B=2×Aとなる3けたの組)×2＋(B=2×A+1となる3けたの組)×2
(B=2×A+1となる5けたの組)=(B=2×Aとなる4けたの組)×2＋(B=2×A+1となる4けたの組)×2
となっていきます。

さすがにヤヤコシイですね。
図に整理しちゃいましょう。



我ながら、これはとても分かりやすい図です。
是非参考にしてください。

もうお分かりですね。
(3)の答えは、683組。

前の小問利用の中でも、かなり難しい部類に入る問題でした。
中学への算数あたりにも掲載があるかもしれませんね。

それでは、失礼いたします。

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