2020年 東大寺学園中学校 大問4 ～前の小問の利用（漸化式的）～ Part 2

こんにちは。家庭教師の知力会です。

さて、前回の続きです。
まずは以下からご覧ください。
↓
2020年 東大寺学園中学校 大問4 ～前の小問の利用（漸化式的）～ Part 1



(3)を解きます。

前回の(2)より、
3けたの整数がB=2×Aとなる場合、
①Aの一の位が1,2,3のとき、上2けたもB=2×A
②Aの一の位が6のとき、繰り上がるので上2けたはB=2×A+1
③Aの一の位が4,5のとき、Bは存在しない
ということが分かりました。
これをさらにまとめますと、
(B=2×Aとなる3けたの組)=(B=2×Aとなる2けたの組)×3＋(B=2×A+1となる2けたの組)×1
と言えます。
同様に、
(B=2×Aとなる4けたの組)=(B=2×Aとなる3けたの組)×3＋(B=2×A+1となる3けたの組)×1
(B=2×Aとなる5けたの組)=(B=2×Aとなる4けたの組)×3＋(B=2×A+1となる4けたの組)×1
であろうことが予測できます。
ということは・・・B=2×A+1となる3けたの組の数も必要であることになります。
(2)と同様に考えます。

3けたの整数がB=2×A+1となる場合、
①Aの一の位が1,2のとき、上2けたはB=2×A
②Aの一の位が5,6のとき、繰り上がるので上2けたはB=2×A+1
③Aの一の位が3,4のとき、Bは存在しない
となりますので、



よって42組。

このことはすなわち、
(B=2×A+1となる3けたの組)=(B=2×Aとなる2けたの組)×2＋(B=2×A+1となる2けたの組)×2
であることを表します。
もちろん同様に、
(B=2×A+1となる4けたの組)=(B=2×Aとなる3けたの組)×2＋(B=2×A+1となる3けたの組)×2
(B=2×A+1となる5けたの組)=(B=2×Aとなる4けたの組)×2＋(B=2×A+1となる4けたの組)×2
となっていきます。

さすがにヤヤコシイですね。
図に整理しちゃいましょう。



我ながら、これはとても分かりやすい図です。
是非参考にしてください。

もうお分かりですね。
(3)の答えは、683組。

前の小問利用の中でも、かなり難しい部類に入る問題でした。
中学への算数あたりにも掲載があるかもしれませんね。

それでは、失礼いたします。

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