2009年度 京都大学 数学（文理共通） 大問５ ～算数的な思考～ その2

前回の続きです。

まだご覧になっていない方は、以下を先にどうぞ。
↓
2009年度 京都大学 数学（文理共通） 大問５ ～算数的な思考～ その1

pを素数、nを正の整数とするとき、(p^n)!はpで何回割り切れるか。

前回は、この問いに具体的な数字を入れてみて、考えたのでしたね。

その前回の内容を踏まえると、以下のようになります。

素因数pをちょうど1つ含む整数（＝pの倍数であるがp^2の倍数ではない）
・・・(p^n)÷p－(p^n)÷(p^2)=p^(n-1)－p^(n-2)
素因数pをちょうど2つ含む整数（＝p^2の倍数であるがp^3の倍数ではない）
・・・(p^n)÷p^2－(p^n)÷(p^3)=p^(n-2)－p^(n-3)
と続いていきますので、

「整数aが素因数pをちょうどk個含む」⇔「aはp^ｋの倍数であるがp^(k+1)の倍数ではない」
と一般化できます。
ただし、k=nのときはp^n÷p^n＝1個です。

従って、求める回数（＝素因数pの総数）は、
1×{p^(n-1)－p^(n-2)}＋2×{p^(n-2)－p^(n-3)}＋・・・(n-2)×(p^2－p^1)＋(n-1)×(p^1－1)＋n×1
=p^(n-1)＋p^(n-2)＋・・・p^2＋p^1＋1
＝(p^n－1)／(p-1)
（等比数列の和）

となります。

「数学と算数は違う」と言われることは多いですが、何も「算数を捨てろ」というわけではありません。
このようにむしろ役立つこともありますので、発想の仕方などは大切に残しておいて欲しいです。
算数と数学が繋がったとき、より理解が深まることも多々あります。

それでは、今日はこのあたりで。


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