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2009年度 京都大学 数学(文理共通) 大問5 ~算数的な思考~ その2 [数学]

前回の続きです。

まだご覧になっていない方は、以下を先にどうぞ。

2009年度 京都大学 数学(文理共通) 大問5 ~算数的な思考~ その1

pを素数、nを正の整数とするとき、(p^n)!はpで何回割り切れるか。

前回は、この問いに具体的な数字を入れてみて、考えたのでしたね。

その前回の内容を踏まえると、以下のようになります。

素因数pをちょうど1つ含む整数(=pの倍数であるがp^2の倍数ではない)
・・・(p^n)÷p-(p^n)÷(p^2)=p^(n-1)-p^(n-2)
素因数pをちょうど2つ含む整数(=p^2の倍数であるがp^3の倍数ではない)
・・・(p^n)÷p^2-(p^n)÷(p^3)=p^(n-2)-p^(n-3)
と続いていきますので、

「整数aが素因数pをちょうどk個含む」⇔「aはp^kの倍数であるがp^(k+1)の倍数ではない」
と一般化できます。
ただし、k=nのときはp^n÷p^n=1個です。

従って、求める回数(=素因数pの総数)は、
1×{p^(n-1)-p^(n-2)}+2×{p^(n-2)-p^(n-3)}+・・・(n-2)×(p^2-p^1)+(n-1)×(p^1-1)+n×1
=p^(n-1)+p^(n-2)+・・・p^2+p^1+1
(p^n-1)/(p-1)
(等比数列の和)

となります。

「数学と算数は違う」と言われることは多いですが、何も「算数を捨てろ」というわけではありません。
このようにむしろ役立つこともありますので、発想の仕方などは大切に残しておいて欲しいです。
算数と数学が繋がったとき、より理解が深まることも多々あります。

それでは、今日はこのあたりで。


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2009年度 京都大学 数学(文理共通) 大問5 ~算数的な思考~ その1 [数学]

pを素数、nを正の整数とするとき、(p^n)!はpで何回割り切れるか。

上のような問題が、2009年の京大で出題されています。
中学受験をそれなりのレベルまで学習した人ならば、見覚えがあるはず。

「1×2×3×・・・×125は、5で何回割り切れますか。」

そう、この問題とそっくりです。

考え方はシンプルで、1×2×・・・×125の中に、素因数5をいくつ含むか?を考えれば良いんです。
5の倍数・・・125÷5=25個
25の倍数・・・125÷25=5個
125の倍数・・・125÷125=1個
よって答えは、25+5+1=31回

・・・と、教えることが多いのですが。
この考え方をしていては、京大のこの問題は考えにくいです。
もっと言えば、この解き方をしている小学生のほとんどは、意味を理解せずに解いています。
25の倍数には素因数5が2つ、125の倍数には素因数5が3つ含まれていることを、無視していることが多いです。
正しくは、次のような解き方になります。

5の倍数であるが、25で割り切れない・・・25-5=20個
25の倍数であるが、125で割り切れない・・・5-1=4個
125の倍数・・・1個
よって、20+4×2+1×3=31回

この考え方を広げ、京大の本問も解いていきます。

次回へ続きます。


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推薦入試 [コラム]

そろそろ、大学の推薦入試の時期です。

当然ですが、推薦入試は一般入試よりも早い日程に実施されます。
11月くらいが多いですね。

ただ日程が早いだけでなく、それに伴って他の点でも違いが生まれます。
「出題範囲の違い」です。

浪人生はここでは置いておいて、現役生にのみ当てはまる話ですが・・・
一般的な進度の高校に通っている場合、この時期ですとまだ高校の内容が授業で終わっていないことが多いです。
特に、数学と理科。
数学は、Ⅲまで履修する理系の生徒ですと、進学校であってもまだ未習の内容が残っていることがあります。
理科に関しても、化学のことしかわかりませんが、高分子化合物あたりの範囲はまだ終わっていなかったりします。

それに配慮してか、11月に実施される推薦入試では、一般入試よりも範囲が狭くなる傾向があります。
数学ですと、数Ⅲが除外されることも。
化学に関しては、高分子や糖、アミノ酸などが出題されなかったりします。

そのあたりは学校ごとに異なりますので、過去問研究&入試要項を細かくチェックすることをオススメします。
無駄な努力は避けたいですし、貴重な時間を出題範囲外に使うのはもったいないですからね。

あと1か月を切った受験生も多いと思いますので、計画的に、最後の確認をしていきましょう。


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最近の指導 [今日の指導]

10月に入りました。
先日、台風24号が近畿にも上陸しましたが、想定していたほどの被害は出なかったようで、安心しました。
ただ、交通機関の計画運休により、模試などが中止になりました。
特に駿台全国模試の中止は、受験生を大きく困惑させるものです。
(駿台生に聞いたところ、振替で実施されるそう)

さて、最近の指導です。

まず、中学受験。
希学園の最レ算数、浜学園の灘合理科などを指導しています。
内容が難しいほど燃える生徒さんには、どんどんハイレベルなものを与えるべきですね。
学習への姿勢も変わってきました。

次に、大学受験。
京大志望の生徒には、数学は「確率」・「整数」を重点的に指導しています。
京大数学では、「確率」は得点源に成り得ます。特に、昨今の傾向で言えば。
「整数」は難しい問題が出題される可能性は高いですが、京大らしい問題とも言えます。
対策がされていないと部分点すら危ういので、放っておけない分野です。
英語は、和訳をメインに指導。
過去問などを扱い、読み方(テクニック)だけでなく、「なぜその訳になるのか」を重点的に指導しています。
いや、指導、というよりも議論に近いかな?
こういう議論があると、学習内容も頭に入りやすいですよね。

もう一人の大学受験生(浪人生)は、夏休みが終わって息切れ気味です。
授業も時々休むようになってしまいましたが、ひとまず学習計画の立て直しを行いました。
公募推薦入試も控えていて、科目ごとの学習時間配分を見直す時期ですから、ちょうど良かったです。
こういうタイプの生徒は、学校や塾のカリキュラムについていくのは絶望的ですから、家庭教師の意味がありますね。

そう、家庭教師はハイレベルな受験だけのためにあるのではありません!

その他、中高一貫校の指導など、さまざまに行っています。


今日は台風の日の振替指導です。
それでは、失礼いたします。


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