2020年 灘中学校 第一日 大問5 ～二項定理とパスカルの三角形～ Part 1

こんにちは。
家庭教師の知力会です。

さて、今日から不定期に入試問題を取り上げていきます。
今日取り上げた問題は、同じ整数を複数回掛け算する際の計算方法についての問題です。
解法はいろいろと考えられそうですが、今日はひとまず小学生らしい解き方を解説します。

解答
数字で出来た三角形（パスカルの三角形といいます）と、下の計算結果を比べます。

11×11＝121（2段目）
11×11×11＝1331（3段目）
11×11×11×11＝14641（4段目）

と、ここまでは三角形の横1行に並ぶ数字そのものになっていますが・・・
11×11×11×11×11＝161051と、5段目の1,5,10,10,5,1とは一致しません。
そもそも、1段の中に10以上の数字があるので、桁の数字になることはできませんよね。
ということは、少し考え方を切り替える必要があるわけです。

11×11＝1×100+2×10+1
11×11×11＝1×1000+3×100+3×10+1
11×11×11×11＝1×10000+4×1000+6×100+4×10+1
11×11×11×11×11＝1×100000+5×10000+10×1000+10×100+5×10+1

となっていることに気づく必要があります。
行の右側から順に、一の位、十の位、百の位・・・となっているんですね。

よって11を100個かけた場合の下6桁は、100段目の数字を見ることになります。
75287520×100000は下6桁がすべて0になるので無視すると、

3921225×10000+161700×1000+4950×100+100×10+1＝・・・・446001

ということで、答えは446001
となります。

この仕組みは、「二項定理」と「パスカルの三角形とコンビネーションの関係」を利用しています。
次回以降、簡単に説明できればと思います。
続き、更新しています。
↓
2020年 灘中学校 第一日 大問5 ～二項定理とパスカルの三角形～　Part 2
2020年 灘中学校 第一日 大問5 ～二項定理とパスカルの三角形～　Part 3

それでは。


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