a, bが互いに素ならば、a-b, abも互いに素？

昨日生徒がやっていたセンター対策問題に、

「a, bが互いに素ならば、a-b, abも互いに素である」
ことを当然として使っている問題がありました。

しかしこれは証明問題として出題されてもおかしくない内容であって、
センター試験でポンと出てくるとすれば違和感があります。

というわけで、ちょっと証明してみましょう。

「互いに素」「有理数」などの証明の定石として、「背理法」をとります。


pf.) a-b, abが互いに素ではない、すなわち共通の素因数kを持つとする
このとき、a-b=km, ab=knと表せる。
まず、ab=knより、a, bの少なくとも一方がkをもつ・・・①
（これは、kが素数であるからだ）
また、a=(a-b)+b=km+b
ここで①より
・aがkをもつ
・bがkを持つ→aはkm+kb'などと表せ、aはkを持つことになる
のいずれかとなり、どちらにせよaはkを持つ。
同様にして、bもkを持つと説明できる。
したがって、a, bは共通の素因数kを持つとなり、矛盾。
よって、a, bが互いに素ならば、a-b, abも互いに素である。(証終）


といった具合です。

書いている間に、時間が無くなってきました。
今日は2件の授業、中1（私立一貫）と小5です。

それでは。


◎生徒募集中！

中学受験・中高一貫フォロー・高校受験・大学受験など。
特に中学受験はレベル不問。
お気軽にご相談下さい。
また、不登校のお子様もご相談下さい。
発達障害をお持ちのお子様も、歓迎しております。

現在のスケジュールはこちら

◎教育相談受付中！

中学受験等、受験のご相談。
進路のご相談。
普段の学習のご相談。
教育全般、何でもご相談下さい。


宜しくお願いいたします。

◎連絡先
メール：
[e-mail]
返信のない場合、vincit.qui.patitur.leo.f◎ezweb.ne.jp（◎を＠に変更してください）までご連絡下さい。

電話：
090-6234-9080
返答の無い場合、携帯電話よりメッセージを送信してください。

facebook：
https://www.facebook.com/leo.edu.lab/

詳しくはこちら↓
http://leo-edu.blog.so-net.ne.jp/2010-04-15