2018年度 (平成30年度）灘中学校 入試問題 算数 第一日 大問６～公約数の利用～

こんにちは。
本日は、2018年（平成30年）の灘中入試 第一日より、一題ピックアップです。



まず、4桁の整数a=ABCDと置きます。
a×x=119868という条件より、
ABCD×x=119868・・・①
と書けます。

次に、
「aの十の位と一の位の数をどちらも0に置き換えてできる4桁の整数とxをかけると・・・」
の部分を考えます。
「aの十の位と一の位の数をどちらも0に置き換えてできる4桁の整数」はAB00と書けます。
※むしろ、そのためにaをABCDと置いています！！

すると、
AB00×x=117600・・・②
となります。

ここで、②だけを見ると、
AB×x=1176・・・③
であることが分かります。
AB00も117600も、下2桁が00だからです。

次に、①－②を考えると、
CD×x=2268・・・④
となります。

すると③、④より、xは1176と2268の公約数であることが分かります。
公約数は最大公約数の約数ですから、最大公約数を求めますとこれが84です。
よって1176と2268の公約数は、84の約数となります。
ここで注意しなければならないのが、

（ア）xは2桁の整数
（イ）本問は、最も大きなaを求める必要がある
（ウ）ABもCDも2桁の整数である

以上の二点です。
（ア）については、見たままです。
問題は（イ）と（ウ）です。
まずは、（イ）について。
aを最大にするには、特にABが最大である必要があります。
AB×xの値が1176と決まっているので、ABが大きいとき、xは最小になります。

つぎに、（ウ）について。
AB、CDがともに2桁となる範囲を求めます。
ただし、できるだけ大きいABやCDを求める問題ですから、99以下となる範囲を求めれば良いでしょう。
すると2268のほうが1176より大きいため、ABよりもCDのほうが条件は厳しくなります。
よって、CDの方のみ考えます。

CD・・・2268÷99=22.9・・・→xは23以上

よって、（ア）（イ）（ウ）を考慮すると、
xは、84の約数のうち2桁で23以上のもの
となります。

本問では、そのxの中で最小のものを考えればOK。
条件を満たす最小の整数は、28です。

x=28のとき、
AB=42、CD=81
となります。

よって求めるaは4281です。


公倍数・公約数の問題というと、パターン化しがちですが・・・
そのパターンを大きく外してきた、良い整数問題だと思います。
aを、桁ごとに（もしくは上2桁、下2桁に分けて）文字で置けたかどうかが、分かれ目でしょうか。

この一問で、いろいろと復習できると思います。
灘中だから・・・と目をそらさずに、ぜひ考えてみてください。


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