数学的帰納法における式変形の仕方～3乗の和～

今まで何人もの生徒に聞かれてきました。
「帰納法の変形なんてどうやったらひらめくんだ」
と。

でも帰納法の式変形はヒラメキでもカンでもなくて、論理立てて考えれば必ずたどり着くことができます。
（難易の差は勿論あります）

簡単な例を挙げましょう。

1^3＋2^3＋3^3＋・・・n^3＝{1/2・n(n+1)}^2　を証明しなさい。

さて、n=1で成り立つことは、すっ飛ばします。（各自どうぞ）
次に、n=kで成り立つと仮定します。

1^3＋2^3＋3^3＋・・・k^3＝{1/2・k(k+1)}^2・・・①

ここからが問題で、n=k+1で成り立つことを証明します。

これは1^3＋2^3＋3^3＋・・・k^3＋(k+1)^3＝{1/2・k(k+1)}^2＋(k+1)^3・・・②の式を変形し、証明します。

このとき、この式の変形に困る生徒が多いんです。

この問題ではさほど苦労しないかもしれませんが、②の式の変形は、難しいものになると眺めるだけでは解けません。
ではどのように考えるか？ですが・・・
大切なのは、結果の式から考えることです。
結果として、どのような式が出てくれば、証明終了となるか・・・それを先に考えておくんですね。

本問で目指す結果の式は、
1^3＋2^3＋3^3＋・・・k^3＋(k+1)^3＝{1/2・(k+1)(k+2)}^2 です。
これは、①の式のkを全てk+1に置き換えた式です。 　

では、②の右辺を変形していきましょう。
結果の式を見る限り、{1/2・(k+1)}^2でくくる必要があると予想できます。
したがって、

{1/2・k(k+1)}^2＋(k+1)^3
＝{1/2・(k+1)}^2×{k^2＋4(k+1)}
＝{1/2・(k+1)}^2×(k^2＋4k+4)
＝{1/2・(k+1)}^2×(k+2)^2
＝{1/2・(k+1)(k+2)}^2

となります。

このように、最後に出てくる必要のある式を先に出しておくことで、どのような変形をすべきかの予想が立ちます。
また解説に適した問題があれば、随時ご紹介します。

さて、本日は中学受験生の理科・国語の指導予定です。
国語は入試問題、理科は抵抗と熱、磁界の分野へ入ります。

そろそろ夏休みです。
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少しずつ埋まってきています。

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