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10人を2組に分ける [数学]

昨日ある生徒より質問を受けましたので、ついでにご紹介します。
「10人を2つの組に分ける」、その分け方は何通りか?
といった、典型的な場合の数の問題です。
解き方としては、以下になります。

まず、A、Bの2組に分けると考えます。
「10人それぞれがAまたはBの2通りを選択できる」と考えると、
2^10=1024通り
となります。
しかし、これには「10人全員がA」「10人全員がB」の場合を含んでしまっているので、
1024-2=1022通り
としなければなりません。

そして、次にそのA、Bの区別をなくします。
ここからがイマイチ理解できていない生徒が多いのですが・・・
以下の説明で、いかがでしょうか。

例えば、(1,2,3,4,5,6)(7,8,9,10)という2組に10人を分けたとします。
A、Bの区別があるときには、
A(1,2,3,4,5,6) B(7,8,9,10)
B(1,2,3,4,5,6) A(7,8,9,10)
以上の2つは、異なるものとして数えています。
A組に入るのとB組に入るのとでは、全く訳が違いますよね。
学校のクラス分けを想像してみると良いでしょう。

一方、A、Bの区別が無い場合はといいますと・・・
上の2つは、1つとして数えなければなりません。
というのも、分け方に違いはなく、同じものだからです。

以上から考えると、
区別がある場合の2通りを、区別が無い場合は1通りとして考えることになります。
「2つが1つになる」のですから、「÷2」の計算が必要になりますよね。
ですから答えは、
1022÷2=511通り
となります。

さて、今回は2組なので比較的理解しやすいです。
しかしこれが3組になると、急に難しくなります。
手持ちの「理系数学のプラチカ 数学Ⅰ・A・Ⅱ・B」(河合塾)に良い例が載っていますので、後日ご紹介します。


本日は、高校生の数学と中学生の数学・英語です。
高校生は、数Ⅰの復習を行います。
中学生に関しては、連立方程式に入りましたので、そちらの確認です。
英語は、現在未来形・接続詞あたりを強化中です。

それでは、失礼いたします。


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